Coordinate baricentriche di un sistema piano a densità di massa areale variabile

Introduzione

Il calcolo delle coordinate baricentriche di un sistema continuo con densità di massa areale variabile consiste nel determinare il punto in cui si può considerare concentrata l’intera massa del sistema. Le coordinate baricentriche $XgX_g$ e $YgY_g$ sono calcolate usando i momenti statici rispetto agli assi $xx$ e $yy$ . È anche necessario calcolare la massa totale del sistema.

Definizione delle coordinate baricentriche

Le coordinate del baricentro sono date dalle seguenti formule:

$Xg=SyMaeYg=SxMaX_g = \frac{S_y}{M_a} \quad \text{e} \quad Y_g = \frac{S_x}{M_a}$

dove:

$Sx=∫Aρ(x,y)⋅y dAS_x = \int_A \rho(x,y) \cdot y \, dA$ : momento statico del sistema rispetto all’asse $xx$ ,
$Sy=∫Aρ(x,y)⋅x dAS_y = \int_A \rho(x,y) \cdot x \, dA$ : momento statico del sistema rispetto all’asse $yy$ ,
$Ma=∫Aρ(x,y) dAM_a = \int_A \rho(x,y) \, dA$ : massa totale del sistema,
$ρ(x,y)\rho(x,y)$ : densità di massa areale,
$AA$ : area su cui è distribuita la massa.

Questi integrali sono calcolati sull’area $AA$ occupata dal sistema.

Procedura di calcolo

Definizione di $ρ(x,y)\rho(x,y)$
Specificare come la densità di massa areale varia con $xx$ e $yy$ .
Definizione dei limiti di integrazione
Identificare i confini dell’area $AA$ su cui è distribuita la massa.
Calcolo di $MaM_a$ , $SxS_x$ e $SyS_y$
Applicare il calcolo integrale usando le regole degli integrali doppi definiti.
Calcolo di $XgX_g$ e $YgY_g$
Applicare le formule per le coordinate baricentriche: $Xg=SyMaeYg=SxMa.X_g = \frac{S_y}{M_a} \quad \text{e} \quad Y_g = \frac{S_x}{M_a}.$

Esempio pratico

Consideriamo una piastra in calcestruzzo armato di dimensioni $4 m×3 m4 \, \text{m} \times 3 \, \text{m}$ .

Il lato lungo è orientato lungo $xx$ , mentre il lato corto è orientato lungo $yy$ .
Lo spessore della piastra varia solo lungo $yy$ , da $0,20 m0,20 \, \text{m}$ a $0,35 m0,35 \, \text{m}$ .
La densità superficiale varia linearmente con $yy$ ed è data da: $ρ(x,y)=500+125y.\rho(x,y) = 500 + 125y.$

Calcolo dei momenti statici e della massa totale

Le espressioni generali dei momenti statici sono:

$Sx=∫Aρ(x,y)⋅y dAeSy=∫Aρ(x,y)⋅x dA.S_x = \int_A \rho(x,y) \cdot y \, dA \quad \text{e} \quad S_y = \int_A \rho(x,y) \cdot x \, dA.$

Sostituendo $ρ(x,y)\rho(x,y)$ :

$Sx=∫A(500+125y)⋅y dA,Sy=∫A(500+125y)⋅x dA.S_x = \int_A (500 + 125y) \cdot y \, dA, \quad S_y = \int_A (500 + 125y) \cdot x \, dA.$

Per la massa totale:

$Ma=∫Aρ(x,y) dA=∫A(500+125y) dA.M_a = \int_A \rho(x,y) \, dA = \int_A (500 + 125y) \, dA.$

Risultati del calcolo integrale

$Sx=13500 kg\cdotpm,S_x = 13500 \, \text{kg·m},$
$Sy=16500 kg\cdotpm,S_y = 16500 \, \text{kg·m},$
$Ma=8250 kg.M_a = 8250 \, \text{kg}.$

Coordinate baricentriche

Applicando le formule:

$Xg=SyMa=165008250=2,00 m,X_g = \frac{S_y}{M_a} = \frac{16500}{8250} = 2,00 \, \text{m},$ $Yg=SxMa=135008250≈1,636 m.Y_g = \frac{S_x}{M_a} = \frac{13500}{8250} \approx 1,636 \, \text{m}.$

Caso di massa areale costante

Nell’ipotesi di densità superficiale costante, il calcolo del momento statico relativo ad una superficie risulta semplificato. Questo sarà approfondito nella videolezione.

Buon studio!

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